previous next

Click on a word to bring up parses, dictionary entries, and frequency statistics



ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ μήκει, μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ
5συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. καὶ ἐὰν μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ μήκει.
10

ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α, ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, σύμμετρος
15δὲ ἔστω ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει: λέγω, ὅτι ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

τετμήσθω γὰρ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ΕΖ. λοιπὴ ἄρα ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ
20ΒΖ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ΒΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ: καὶ τὰ τετραπλάσια: τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετραπλασίου τοῦ
25ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μέν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον, τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον: διπλασίων γάρ ἐστιν ΔΖ τῆς ΔΕ. τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς
30ΕΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον: διπλασίων γάρ ἐστι πάλιν ΒΓ τῆς ΓΕ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν Α, ΔΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ: ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς Α μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ: ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῇ ΔΖ. δεικτέον, ὅτι καὶ
35σύμμετρός ἐστιν ΒΓ τῇ ΔΖ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει. ἀλλὰ ΓΔ ταῖς ΓΔ, ΒΖ ἐστι σύμμετρος μήκει: ἴση γάρ ἐστιν ΓΔ τῇ ΒΖ. καὶ ΒΓ ἄρα σύμμετρός ἐστι ταῖς ΒΖ, ΓΔ μήκει: ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ
40σύμμετρός ἐστιν ΒΓ μήκει: ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.

ἀλλὰ δὴ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ
45ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. δεικτέον, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.

τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν,
45ὅτι ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. δύναται δὲ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ. σύμμετρος
50ἄρα ἐστὶν ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει: ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ΒΓ μήκει. ἀλλὰ συναμφότερος ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΓ μήκει. ὥστε καὶ ΒΓ τῇ ΓΔ σύμμετρός ἐστι μήκει: καὶ διελόντι ἄρα ΒΔ τῇ ΔΓ ἐστι σύμμετρος μήκει.
55

ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, καὶ τὰ ἑξῆς.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 United States License.

An XML version of this text is available for download, with the additional restriction that you offer Perseus any modifications you make. Perseus provides credit for all accepted changes, storing new additions in a versioning system.

load focus English (Thomas L. Heath, Sir Thomas Little Heath, 1956)
load Vocabulary Tool
hide Display Preferences
Greek Display:
Arabic Display:
View by Default:
Browse Bar: