previous next

Click on a word to bring up parses, dictionary entries, and frequency statistics



ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας, τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν καλουμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη.

περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒΓΔ ὑπὸ ῥητῆς τῆς
5ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας τῆς ΑΔ: λέγω, ὅτι τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη ἐστίν.

ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα ἐστὶν ΑΔ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον
10ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ: αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα ΕΔ σύμμετρόν ἐστι τῇ ΑΒ μήκει. τετμήσθω ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω
15ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ: σύμμετρος ἄρα ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει. καὶ διὰ τῶν Η, Ε, Ζ παράλληλοι ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ, ΓΔ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τετράγωνον
20τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπ᾽ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ: ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ΡΝ τῇ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον: φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ προδεδειγμένου, ὅτι τὸ ΜΡ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΣΝ, ΝΠ, καὶ ἴσον τῷ ΕΛ, καὶ ὅτι τὸ ΑΓ χωρίον
25δύναται ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη. ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, σύμμετρος δὲ ΕΔ τῇ ΑΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ΑΕ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ΑΗ τῇ ΕΗ, σύμμετρός ἐστι καὶ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ἀλλὰ ΑΕ
30ἀσύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει: καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι τῇ ΑΒ. αἱ ΒΑ, ΑΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι: ὥστε μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ. ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον
30ἐστίν. καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσίν. καὶ ἐπεὶ σύμμετρος
35 ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ ὥστε δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλ᾽ μὲν ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΗ, δὲ ΕΔ τῇ ΕΖ
40σύμμετρος, ἀσύμμετρος ἄρα ΑΗ τῇ ΕΖ: ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΜΡ, τουτέστιν ΟΝ τῇ ΝΡ, τουτέστιν ΜΝ τῇ ΝΞ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει. ἐδείχθησαν δὲ αἱ ΜΝ, ΝΞ καὶ μέσαι οὖσαι καὶ δυνάμει σύμμετροι: αἱ ΜΝ, ΝΞ
45ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι. λέγω δή, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν. ἐπεὶ γὰρ ΔΕ ὑπόκειται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ σύμμετρος, σύμμετρος ἄρα καὶ ΕΖ τῇ ΕΚ. καὶ ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν: ῥητὸν ἄρα τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ: τὸ δὲ ΜΡ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ.
50ἐὰν δὲ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη.

ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη: ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 United States License.

An XML version of this text is available for download, with the additional restriction that you offer Perseus any modifications you make. Perseus provides credit for all accepted changes, storing new additions in a versioning system.

load focus English (Thomas L. Heath, Sir Thomas Little Heath, 1956)
load Vocabulary Tool
hide Display Preferences
Greek Display:
Arabic Display:
View by Default:
Browse Bar: