previous next

Click on a word to bring up parses, dictionary entries, and frequency statistics



ἐὰν εἰς κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.

ἔστω κύκλος ΑΒΓΔΕ, καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον
5πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ. λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευρὰν τῶν εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον ἐγγραφομένων.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ
10ἐπιζευχθεῖσα ΑΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ΖΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ΖΘ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετος ἤχθω ΖΛ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ΚΝ. ἐπεὶ
15ἴση ἐστὶν ΑΒΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΕΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση. πενταγώνου δὲ ΓΔ: δεκαγώνου ἄρα ΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ΖΑ τῇ ΖΒ, καὶ κάθετος ΖΘ, ἴση ἄρα καὶ ὑπὸ ΑΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ
20ΚΖΒ. ὥστε καὶ περιφέρεια ΑΚ τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση: διπλῆ ἄρα ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας: δεκαγώνου ἄρα πλευρά ἐστιν ΑΚ εὐθεῖα. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ΑΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας, ἴση δὲ ΓΔ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ,
25διπλῆ ἄρα καὶ ΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας. ἔστι δὲ ΓΔ περιφέρεια καὶ τῆς ΓΗ διπλῆ: ἴση ἄρα ΓΗ περιφέρεια τῇ ΒΚ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ΒΚ τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ, ἐπεὶ καὶ ΚΑ: καὶ ΓΗ ἄρα τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ. ἀλλὰ μὴν καὶ ΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας
30ἐστὶ διπλῆ: ἴση γὰρ ΓΒ περιφέρεια τῇ ΒΑ. καὶ ὅλη ἄρα ΗΒ περιφέρεια τῆς ΒΜ ἐστι διπλῆ: ὥστε καὶ γωνία ὑπὸ ΗΖΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΖΜ ἐστι διπλῆ. ἔστι δὲ ὑπὸ ΗΖΒ καὶ τῆς ὑπὸ ΖΑΒ διπλῆ: ἴση γὰρ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ. καὶ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΑΒ ἐστιν
35ἴση. κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΑΒΖ καὶ τοῦ ΒΖΝ, ὑπὸ ΑΒΖ γωνία: λοιπὴ ἄρα ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴση: ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ΖΒ πρὸς τὴν ΒΝ: τὸ ἄρα ὑπὸ
40τῶν ΑΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ΑΛ τῇ ΛΚ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ΛΝ, βάσις ἄρα ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση: καὶ γωνία ἄρα ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ὑπὸ ΛΑΝ τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν ἴση: καὶ ὑπὸ ΛΚΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν
45ἴση. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΚΒ καὶ τοῦ ΑΚΝ πρὸς τῷ Α. λοιπὴ ἄρα ὑπὸ ΑΚΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΝΑ ἐστιν ἴση: ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ τρίγωνον τῷ ΚΝΑ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ΚΑ πρὸς τὴν ΑΝ: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
50ΒΑΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑΝ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστιν μὲν ΒΑ πενταγώνου πλευρά, δὲ ΒΖ ἑξαγώνου, δὲ ΑΚ δεκαγώνου.
55

ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων: ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 United States License.

An XML version of this text is available for download, with the additional restriction that you offer Perseus any modifications you make. Perseus provides credit for all accepted changes, storing new additions in a versioning system.

load focus English (Thomas L. Heath, Sir Thomas Little Heath, 1956)
load Vocabulary Tool
hide Display Preferences
Greek Display:
Arabic Display:
View by Default:
Browse Bar: