previous next

Click on a word to bring up parses, dictionary entries, and frequency statistics



ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὑφ᾽ ὅσων ἂν ἔσχατος πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ παρὰ τὴν μονάδα μετρηθήσεται.

ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον
5οἱ Α, Β, Γ, Δ: λέγω, ὅτι ὑφ᾽ ὅσων ἂν Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ Α μετρηθήσεται.

μετρείσθω γὰρ Δ ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ τοῦ Ε: λέγω, ὅτι
10ε τὸν Α μετρεῖ. μὴ γάρ: καί ἐστιν Ε πρῶτος, ἅπας δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν: οἱ Ε, Α ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους
15εἰσίν. καὶ ἐπεὶ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ: Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. πάλιν, ἐπεὶ Α τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν: ἄρα ἐκ
20τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς Α πρὸς τὸν Ε, Ζ πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον: μετρεῖ ἄρα Ε τὸν Γ.
25μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η: Ε ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν διὰ τὸ πρὸ τούτου καὶ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Η. ἔστιν ἄρα ὡς Α πρὸς τὸν Ε, Η πρὸς τὸν Β. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι
30καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον: μετρεῖ ἄρα Ε τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ: Ε ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ Α ἑαυτὸν
35πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν: ἄρα ἐκ τῶν Ε, Θ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α. ἔστιν ἄρα ὡς Ε πρὸς τὸν Α, Α πρὸς τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ
40ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον: μετρεῖ ἄρα Ε τὸν Α ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον. ἀλλὰ μὴν καὶ οὐ μετρεῖ: ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Ε, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. σύνθετοι ἄρα. οἱ δὲ σύνθετοι ὑπὸ πρώτου ἀριθμοῦ τινος μετροῦνται. καὶ ἐπεὶ Ε πρῶτος ὑπόκειται, δὲ πρῶτος ὑπὸ ἑτέρου
45ἀριθμοῦ οὐ μετρεῖται ὑφ᾽ ἑαυτοῦ, Ε ἄρα τοὺς Α, Ε μετρεῖ: ὥστε Ε τὸν Α μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Δ: Ε ἄρα τοὺς Α, Δ μετρεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὑφ᾽ ὅσων ἂν Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ Α μετρηθήσεται: ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 United States License.

An XML version of this text is available for download, with the additional restriction that you offer Perseus any modifications you make. Perseus provides credit for all accepted changes, storing new additions in a versioning system.

load focus English (Thomas L. Heath, Sir Thomas Little Heath, 1956)
load Vocabulary Tool
hide Display Preferences
Greek Display:
Arabic Display:
View by Default:
Browse Bar: